Однажды КицьМАН сладко дремал, устроившись на пачке старых потрёпанных журналов. Сквозь сон он и услышал,
КАК ПОСПОРИЛИ КАЛЕНДАРИ
На дальней тёмной полке в старом книжном шкафу нашли свой приют календари прошлых лет. Это были небольшие, но довольно толстые книжки, которые можно было прикреплять при помощи специальных зажимов на стенку. На каждой страничке этих книжек были крупно написаны цифры (они указывали на число месяца) и название соответствующего дня недели. Иногда здесь же было название того или иного праздника, и часто дата праздничного дня была написана красным цветом, в этом случае день был нерабочим, как, впрочем, и последний день недели – воскресенье. Такие календари называются отрывными, потому что по прошествии каждого дня надо отрывать листок календарной книжки. Понятно, что такой календарь теряет свой последний листок в последний день года – 31 декабря.
Однако эти старые календари, хранящиеся в шкафу, не потеряли ни единого листка, потому что хозяева не вешали их на стенку, а покупали по традиции и хранили, иногда пользуясь той информа-цией, которая была напечатана на обратной стороне страниц с датами. Часто календари, забытые людьми, беседовали друг с другом, шелестя пожелтевшими страницами, и даже спорили по некоторым вопросам, связанным с учётом времени.
– Знаете ли вы, – шуршащим шёпотом как-то раз спросил самый старый Календарь 1987 года, – что длительность дня никогда не бывает постоянной?
– Глупый вопрос, – хихикнул Календарь-2010. – Даже малыши знают, что зимой дни короче, а ночи длиннее. Да вот у нас на каждой странице есть данные о восходе и заходе не только Солнца и Луны, а рядом указана долгота дня.
– Действительно, – поддакнул довольно солидный Календарь 1992 года, – вот, например, у меня на листке 10 марта написано так: восход солнца 6.58; заход 18.23; долгота дня 11.25. А для 10 декабря 1992 г. на моем листке указано: восход 8.50; заход 15.56; долгота дня 7.06. Что и требовалось доказать!
– Так-то оно, так… Только вот почему на моём листке 10 марта 1987 года написано: восход 7.00; заход 18.22; долгота дня 11.22? – ехидно поинтересовался Календарь-1987. – А 10 декабря восход 8.49; заход 15.56; долгота дня 7.07. То есть день 10 марта «укоротился» на 3 мин., а 10 декабря «удлинился» на 1 минуту! И так будет, если вы сравните две любые одинаковые даты, но для разных лет! Как вы это объясните?
Календари-собеседники задумались и даже перестали шуршать страницами. А любознательный КицьМАН не смог дальше дремать, он потянулся и промурлыкал что-то вроде: «Мур-р-р`а какая-то получается, пр-р-роблема с этими минутами». Спрыгнув на пол, учёный кот отправился на поиски профессора. Он был уверен, что МАНиус сможет разобраться в этом парадоксе.
Професор МАНиус в ответ на рассказ учёного кота решил написать статью для любознательных МАНовцев под таким названием:
РОЗПОВІДЬ ПРО РІЗНІ СПОСОБИ ВИЗНАЧЕННЯ ЧАСУ
Календар, як відомо, розрахований на рік і зазвичай пов’язаний з відносним рухом на небосхилі Сонця й Місяця. Тому для визначення великих проміжків часу люди з давніх-давен використовували тривалість або місячного місяця, або сонячного року.
Християнським календарем зазвичай називають календар, яким ми користуємось і який оснований саме на періодичності руху Сонця по небосхилу.
Зоряний рік Т* – це час, за який Сонце, здійснивши повний оберт по небесній сфері, повер-тається на попереднє місце.
Тривалість зоряного року – 365,256360 доби, тобто Т* = 365 діб 6 год. 09 хв. 10 с. Але завдяки прецесії точка перетину небесного екватору з екліптикою (точка весняного рівнодення ) пересу-вається назустріч видимому руху Сонця зі швидкістю 50,26“за рік.
Справжнім, або тропічним роком Т називається проміжок часу, за який центр диску Сонця, описавши коло на екліптиці, знову повертається в точку весняного рівнодення. Інакше – це проміжок часу між двома послідовними проходженнями центра диска Сонця через точку .
Тропічний рік триває Т = 365 діб 5 годин 48 хвилин 46 секунд, тобто на 20 хв. 24 с (0,0142 доби) менше, ніж зоряний.
Т* = Т + 20 хв. 24 с.
Таким чином, середня швидкість пересування диска Сонця на небі відносно зір становить:
.
Проте систематичні спостереження показують, що Сонце насправді рухається нерівномірно. Відомо, що проміжок весна – літо на 7 діб довший, ніж осінь-зима у північній півкулі Землі. Неоднаковим є й видимий кутовий діаметр Сонця: на початку січня він дорівнює 32`35“, на початку липня – 31`31“. Тому для зручності обліку часу введено поняття середнього Сонця – фіктивної точки, яка рухається рівномірно по небесному екватору і повертається в точку весняного рівнодення, як і справжнє Сонце, за 1 тропічний рік.
Зоряна доба – це проміжок часу між двома послідовними верхніми кульмінаціями точки весняного рівнодення.
Справжньою сонячною добою називають промі-жок часу між двома послідовними нижніми кульмінаціями диска Сонця.
Справжній сонячний час ТС – це час, який минув від нижньої кульмінації центра диска Сонця. Середній сонячний час Т – це час, що минув від нижньої кульмінації середнього сонця. Зв’язок між справжнім сонячним часом ТС та середнім сонячним часом Т називається рівнянням часу = Т – ТС.
Це рівняння, зрозуміло, має кожного разу своє значення величини , яке зручніше виразити за допомогою графіку (рис.2).
Справжня сонячна доба, дійсно, коливається в залежності від пори року. Це пояснюється, по-перше, нахилом площини екліптики до площини небесного екватора, а, по-друге, еліптичністю орбіти Землі. Справжня орбіта Землі перетинається з коловою лише чотири рази на рік: 16 квітня, 14 червня; 1 вересня; 25 грудня, і в ці дні рівняння часу дорівнює нулю. У кожну ж пору року існує й свій максимум рівняння часу: біля 12 лютого – +14,3 хв., 15 травня – -3,8 хв., 27 липня – +3,8 хв., 4 листопада – -16,4 хв. Точні значення рівняння часу надаються в щорічних астрономічних календарях.
Рівняння часу приблизно можна представити частиною ряду Фур’є, як додаток двох синусоїдальних кривих з періодами на один рік та на 6 місяців.
E=9.87sin(2B) – 7.53cos(B) – 1.5sin(B) ,
де
B=360°(N – 81)/364,
якщо кути вимірюються в градусах або
B=2 (N – 81)/364 ,
якщо кути вимірюються в радіанах.
N — кількість днів, наприклад:
N = 1 на 1 січня
N = 2 на 2 січня і т. ін.
Місяці теж можуть визначатися по-різному:
Зоряний (сидеричний – від лат. «сидус» – «зоря») місяць – проміжок часу, за який Місяць проходить повне коло на небосхилі і повертається в ту саму точку. Сидеричний місяць складає доби.
Проміжок часу S між двома однойменними фазами Місяця називається синодичним місяцем (від грецьк. «синодис» – «зближення»), причому
S = 29,5 діб.
Отже, розглянувши лише основні засади визначення часу, можна зрозуміти, що створення точного календаря є зовсім непростою задачею, до того ж до складання календарів можна підходити по-різному, взявши за основу різні підходи у визначенні основи календаря – він може бути місячним, сонячно-місячним або сонячним.
Але при будь-якому підході необхідно застосовувати математичний апарат, який виявляється досить складним. Тому математичним підґрунтям календарів та вимірювання точного часу займалися відомі математики: П. Лаплас (1749–1827) у 1802 р.; Ф. Бессель (1784—1846) у 1828 р.; П. Ганзен (1795-1874) у 1853 р., У. Левер`є (1811—1877) у 1858 р. До речі, один з найкращих календарів був створений геніальним Омаром Хайямом.
І в наші часи математики Московського державного університету ім. М.В. Ломоносова постійно отримують замовлення для точного обчислення часу релігійних свят мусульман (мусульмани користуються місячним календарем, відмінним від звичного нам).
Розібратися в математичному підґрунті складання календарів нам видається дуже цікавим – адже інколи ми забуваємо, що дати нашого життя завжди прив’язані до космічного руху Землі. Додамо, що у астрономії найчастіше під поняттям “календар” розуміють систему літочислення. Але у повсякденному житті календарем називають таблицю відповідності дат певного року до днів тижня.
ОБСУЖДЕНИЕ ПРОДОЛЖАЕТСЯ
Статью профессора МАНиуса читали все вместе. Любознательная МАНЮНя сразу же заявила, что знает о существовании двух самых известных солнечных календарях: юлианского, который был введен в 46 г. до н.э., а также григорианского, который до сих пор называют «новым стилем».
МАНЮНя рассказала, что римский диктатор, верховный жрец, полководец и писатель, Гай Юлий Цезарь, побывал в Египте, ознакомился с египетским солнечным календарем и даже сам составил несколько не дошедших до нас трактатов по астрономии. Разработку нового календаря осуществила группа александрийских астрономов во главе с Созигеном. Когда через 2 года Цезаря убили, в его честь был назван месяц, в котором он родился, – июль.
МАНиус важно заметил, что впоследствии римские жрецы запутали календарь, объявляя високосным каждый третий, а не четвёртый его год. Эту ошибку исправил император Август, но после того, как названный в его честь месяц сделали на один день больше (в 31 день) и нарушили чередование 30-ти и 31-тидневных месяцев, календарь приобрёл ещё более заметные недостатки.
На І Никейском соборе, созванном по инициативе императора Константина в IVв. н.э., христианская церковь связала свой годичный цикл праздников с юлианским календарем. Но в результате разной продолжительности тропического года и года юлианского календаря, за каждые 128 лет накапливалась ошибка в целые сутки. И все праздники передвигались «вперед»: весенние – на лето, летние – на осень. Поэтому церковь и стала инициатором последующей календарной реформы.
МАНЮНя перебила профессора:
– Знаю, знаю! Реформу календаря осуществил папа Григорий XIII, использовав проект итальянского врача и математика Луиджи Лилио. Весеннее равноденствие было передвинуто на 21 марта, «на свое место». А чтобы ошибка в дальнейшем не накапливалась, было решено из каждых 400 лет выбрасывать трое суток. Принято было считать простыми те столетия, число сотен которых не делится без остатка на 4.
МАНиус добавил:
– На терри-тории России вопрос о реформе календаря был решён сразу после Октябрьской революции. 24 января 1917 г. вступил в силу «Декрет о введении в Российской республике западноевропейского календаря». При этом было принято, что «первый день после 31 января сего года считать не 1 февраля, а 14 февраля, второй день – считать 15 и т.д.».
В это время МАНЮНя, которая перебирала старые календари, достав их с заветной полки, вдруг радостно воскликнула:
– Я придумала загадку и задам её вместе с моими новыми друзьями-календарями!
МАНЮНя взяла в руки два календаря так, чтобы не было видно за какой они год, и показала страницу, где для каждого из календарей было написано: 1 января, вторник.
Задача МАНЮНи
Какие годы начались со вторника?
КицьМАН замяукал и зафыркал:
– Смя-яушная загадка, фу ты – ну ты! Да это же фр-р-пр-росто календари одного года.
– А вот и нет! Ты попался! Разве смогла бы я загадать такую простую задачку? Могу даже подсказать вам – календари эти соответствуют годам, между которыми промежуток в целых 6 лет!
А профессор МАНиус изрёк:
– Задачка-то и вправду непростая, но для тех, кто знает математику, она довольно интересная! Кстати, можно будет установить, для каких ещё промежутков между годами наблюдается совпадение календарей.
И снова МАНиус «разразился» очередной научной статьёй, и снова перешёл на украинский язык. Статья адресовалась опять-таки МАНовцам, которые увлекаются не только астрономией, но и математикой, и называлась она так:
МЕТОД ВИЗНАЧЕННЯ ДНЯ ТИЖНЯ
– По-перше, – зазначив професор МАНіус, відповімо на питання: “Як календарі пов’язані з роками?”
Оскільки будь-яка дата, наприклад, 1 січня, може бути будь-яким днем тижня, а роки бувають високосними (366 діб) і простими (365 діб), то зрозуміло, що може існувати не більше 14 різних календарів. Але відомо, що не завжди рік, число якого ділиться на 4, є високосним. Якщо число, що визначає рік, закінчується на два нулі, але не ділиться на 400 (хоча й ділиться на 4), то воно не означає високосний рік.
Отже, зміна століть може порушити 4-річний цикл високосних та простих років. Але у 2000-му році цього не відбулося, оскільки 2000 рік був високосним (2000:400=5).
Зазначимо, що у простому році вкладається ціле число тижнів плюс один день:
365=7•52+1,
а у високосному році – ціле число тижнів плюс 2 дні:
366=7•52+2.
Тобто, після високосного року календар посунеться на 2 дні.
Так 2004-й рік починався у четвер, а 2005-й – у суботу; 2008-й рік почався у вівторок, а 2009-й – вже у четвер.
Формалізуємо наші міркування. Перенумеруємо дні тижня (перший – понеділок). Якщо рік починається з N-го дня тижня, будемо називати його роком N-го типу, і календар також – N-го типу.
Якщо рік високосний, відзначимо його штрихом.
У цих позначеннях 2005 рік буде роком 6-го типу, 2008 рік – 2-го типу, 2009 рік – 4-го типу.
Таким чином ми визначили, що за роком типу N завжди йде рік типу N+1, а за роком типу N’ йде рік типу N+2. Але в нашій «календарній арифметиці»
7+2=2
7+1=1
6+2=1
У математиці в цьому випадку кажуть, що ми маємо порівняння по модулю 7, що можна записати таким чином:
7+2=2(mod 7).
Наступне питання: “Як відбувається чергування календарів?”
Почнемо складати послідовність років, наприклад, з високосного 1996 р., який почався в понеділок і тому був роком типу 1′.
1′, 3, 4, 5; 6′, 1, 2, 3; 4′, 6, 7, 1; 2′, 4, 5, 6; 7′, 2, 3, 4; 5′, 7, 1, 2; 3′, 5, 6, 7; 1′, 3, 4, 5; …
Зрозуміло, що далі послідовність буде повторюватися. Підсумовуючи, зазначимо, що в чергуванні календарів виявлено період у 28 років. Але тільки високосний рік повториться через 28 років. Простий же рік будь-якого типу усередині цього періоду зустрінеться 3 рази. Наприклад, роками 3-го типу будуть 2-й, 8-й та 19-й роки 28-річного циклу. Роками типу 4 – 3-й, 14-й та 20-й роки циклу. Помітимо, що номери простих років одного і того самого типу розділені проміжками в 6, 11 і ще раз 11 років.
Отже, 2005-2007 роки – це роки типів 6, 7, 1 відповідно, і у 28-річному циклі є лише один випадок, де вони стоять поряд (це третя спочатку група, і місце 2007 року підкреслено). Тепер зрозуміло, що календар цього року повториться у 2018 році, оскільки 2018=2007+11, календар 1996 року повториться у 2024 році (2024= 1996+28), календар 2005 року – у 2011 році (2005+6=2011).
Але ці закономірності порушаться у 2100 році, який буде не високосним. Отже, тепер кожний з тих, хто розібрався в наведених закономірностях, може самостійно відповісти і на питання МАНЮНі, і на узагальнені питання щодо співпадіння календарів через певні довільні проміжки.
