Автори: Ірина Добовольська, Анна Люшняк
Які асоціації виникають у вас при слові “катастрофа”? У голові відразу з’являються образи землетрусів, повеней, вибухів, цунамі. Але виявляється, катастрофи можуть існувати не лише у реальному світі, але і в математиці. Їх вивчає саме теорія катастроф.
Теорія катастроф – розділ прикладної математики, одна з галузей теорії біфуркацій, важливий інструмент для дослідження динамічних систем . Слово “біфуркація” означає роздвоєння і вживається в широкому сенсі для позначення будь-яких якісних перебудов або метаморфоз різних об’єктів через зміни параметрів, від яких вони залежать.
З точки зору математики, катастрофа – це стрибкоподібна зміна, що виникає у вигляді раптової відповіді системи на плавну зміну зовнішніх умов. Раптом закипає вода. Починає танути лід. Стрясається земля. Утворюються смерчі та цунамі. Рушаться домівки. Відбуваються біржові розорення. Усі ці зміни, навіть бунти у в’язницях, вивчає теорія катастроф.
Її основи були закладені, передусім, в працях американського тополога Хаслера Уітні в 1955 році (робота “Про відображення площини на площину”), у 1960–х цією теорією зайнявся французький математик і філдсівський лауреат 1958 року Рене Том. Перші відомості про теорію катастроф в журналах “Ньюс уік” з’явилися біля 1960 року. У них повідомлялося про переворот, створений в математиці, який можна порівняти хіба що з винаходом Ньютоном диференціального і інтегрального числення. Катастрофи – раптові зміни – були так названі математиком Рене Томом для того, щоб виразити відчуття різкої або драматичної зміни. Це слово, на жаль, несе в собі відтінок лиха, який в більшості випадків недоречний.
Відкриття нового напряму в математиці торкнулося навіть мистецтва. У 1979 році Сальвадор Далі у своїй промові “Гала, Веласкес і Золоте Руно”, присвяченій прийому у Французьку Академію витончених мистецтв, назвав теорію катастроф “найпрекраснішою теорією у світі”. Картина “Ластівчин хвіст”, написана в 1983 році, стала його останньою [2]. Вона, як і інші картини цієї серії, була інспірована знайомством з теорією катастроф і зустріччю з її автором Рене Томом.
Дуже багато явищ реального світу теоретично можна описати за допомогою теорії катастроф. Втім на цей час описано лише їх частину, тому дана теорія не втрачає своєї актуальності.
Метою нашої наукової роботи було дослідження геометрії рівнянь, що є одним з математичних методів дослідження в теорії катастроф.
Виділимо етапи та методи дослідження, що застосовувалися у процесі виконання роботи, а також отримані нами результати.
- В роботі досліджувався зв’язок між математичною теорією катастроф та геометричними методами дослідження рівнянь.
- Наведено дуже стислі відомості про теорію катастроф. Наведена класифікація катастроф за Томом.
- Досліджена на шкільному рівні катастрофа збірки.
- Вивчено принцип роботи машини катастроф та сконструйована така машина.
- Кубічне рівняння, яке задає положення рівноваги цієї машини, докладно досліджене геометричними методами.
- За допомогою розвинутих геометричних методів розв’язано ряд запропонованих в літературі задач. Частина з них теж використовується в теорії катастроф. Зокрема, досліджено дуальні криві.