Автор: Евгений Соколов
Так, согласно классику, даже простые камушки, подобранные на дороге, могут служить инструментом для исследования окружающего нас мира. Нашим инструментом сегодня будет лист прозрачного мягкого целлофана, на котором мы провели фломастером жирную линию
Предлагаем и вам изготовить такое «устройство» и вместе с нами приступить к исследованию с его помощью очень интересного мира – мира наикратчайших линий, растянутых эластичных нитей, световых лучей и бильярдных шаров.
1. ПЕРВЫЕ ШАГИ
Наше путешествие мы начнем с классической задачи.
Задача 1. Однажды в Зазеркалье – это волшебная страна, в которую вместе с Алисой попали Мартовский Заяц, Чеширский Кот, Белый Кролик и другие сказочные персонажи, – случился такой разговор. Алисе позвонил Кролик и пригласил ее на вечернее чаепитие. «Только, – добавил он, – по дороге сначала зайди, пожалуйста, к реке и набери чайник воды. И учти, в этой стране все воспитанные девочки должны ходить только по самым коротким тропинкам!»
Конечно, Алиса была воспитанной девочкой и, конечно, она хотела пойти самой короткой тропинкой. Только как ей выбрать эту тропинку? То, что к реке и от реки надо бежать по прямой, – понятно. Непонятно, какую точку О на берегу реки надо выбрать, чтобы путь оказался самым коротким?
Помогите, ребята, Алисе найти самый короткий путь! Чему равна его длина? Размеры приводятся на плане 2б.
Обсуждение. Все по-разному представляют себе кратчайший путь
– Надо бежать к реке по перпендикуляру, ведь это самый короткий путь от точки до прямой, – говорят одни.
– Да нет, потом долго придется идти до домика К, – спорят с ними другие. – Наверное, надо идти в точку, которая лежит посередине между проекциями домиков.
– Да нет же, надо идти так, чтобы от одного домика до реки было бы столько же, сколько от реки до второго домика,– утверждают третьи.
Дело доходит до того, что в ход идут линейки, угольники и калькуляторы. Скоро выясняется, что вторая траектория все-таки короче других. Но является ли она самой короткой?
Если в этот момент у кого-то хватит смелости взять еще одну точку на берегу реки немного левее точки и прямо на плане измерить линейкой новые отрезки, то линейка неумолимо покажет, что новый путь короче. Значит и второй рецепт не дает правильного решения.
Догадка не сработала. Надо решать задачу «честно».
Упражнение 1. Вычислите длины предложенных путей и убедитесь, что ребята правильно расставили их по длине.
Решение. Ну что же, давайте, проверим, насколько мы ошиблись. Решение этой задачи очень простое, а главное – поучительное.
Представим, что наш рисунок нарисован на двух половинках согнутого по линии реки листа бумаги (рис.3а). А еще лучше представить, что это не лист бумаги, а прозрачный лист целлофана, через который гораздо лучше видны все нарисованные линии.
Разворачиваем наш бумажно-целлофановый лист и разглаживаем его на столе (рис.3в).
Все сразу становится ясным! Конечно, второй вариант не оптимален.
Но главное, теперь совсем очевидно, как построить самый короткий путь. Надо просто взять и соединить на развернутом листе точки А и К, два домика наших героев. Это будет самый короткий путь, ибо, как известно из геометрии, отрезок всегда короче любой другой линии, соединяющей две точки.
Мы решили задачу, и нашли самый короткий путь. Его длина .
Упражнение 2. Получите сами этот ответ.
Естественным будет назвать метод, которым мы решили задачу, «Методом согнутого листа».
Вполне возможно, кто-то скажет: «Кажется, я уже что-то подобное слышал, только называлось оно по-другому».
Да, действительно, существует метод-близнец – это «Метод зеркальных изображений».
Вот как рассуждают те, кто решает нашу задачу «Методом зеркальных изображений».
Представим , что линия реки – это зеркало. Построим изображение точки А в этом зеркале.
Вы знаете, где находится ваше изображение в зеркале? На точно таком же расстоянии от зеркала, как и вы сами, только за зеркалом, в “Зазеркалье” . Поэтому ставим точку-изображение А1 в «Зазеркалье» на таком же расстоянии от зеркала, на котором находится ее образ – точка А.
Дальше обычно следуют такие стандартные рассуждения: «Длина отрезка АО всегда будет равной длине отрезка А1О, поэтому длина верхнего пути всегда будет равна нижнего пути . Ну а если это так, то заменяем вопрос задачи более простым – будем искать самый короткий путь из точки-изображения А1 в К. Ответ на этот вопрос знает каждый: самый короткий путь из А1 в К – это проведенный по линейке отрезок А1К».
Итак, идея обоих методов одинакова. Разница лишь в том, какими словами сопровождается построение. Философ мог бы так сравнить наши два метода: «Строя изображения в зеркалах, мы решаем задачу, оставаясь в плоскости рисунка. Разгибая лист, мы, подобно рептилиям Эшера, на время покидаем плоскость, чтобы затем вновь слиться с ней!»
Да, философ, несомненно, прав. Но нам все-таки стоит сделать выбор, какой же из двух способов рассуждения нам полезнее использовать в дальнейшем рассказе?
Давайте поступим так. Займемся не решением, а придумыванием задач.
Вот для этого наше «устройство» – лист прозрачного целлофана, с нарисованной на нем прямой линией, – самый подходящий инструмент. Складывая его различными способами, мы сможем составить много-много задач про кратчайшие линии. Надо только внимательно смотреть, что получается при сгибах. А самое главное, мы сами всегда будем знать правильный ответ – потому, что нарисованная нами линия это всегда самый короткий путь. Почему?
А пусть кто-то нарисует другой путь и скажет, что именно он кратчайший. Тогда мы развернем наш целлофановый лист, разгладим его и покажем его нашему оппоненту. «Смотрите, – скажем мы ему, – ваша кривая линия не кратчайшая. Кратчайшая именно наша линия, потому, что отрезок…».
А вот обратное действие – мысленное разворачивание листа при решении придуманной нами задачи, вполне возможно, удобнее и привычнее будет проводить именно методом зеркальных изображений. Его название будет всегда нам подсказывать, что для решения следует строить изображения исходных точек в «зеркалах – линиях сгибов».
Мы использовали разрезанный на две части прозрачный «файл» для бумаг.